Veamos ahora unos Ejemplos

1. f(x)= 3x^2 + 2x -10

    f'(x)= lim    3(x+h)^2-3x^2   +  2(x+h)-2x

             h-0              h                      h

   

    f'(x)= lim   3(x^2+2xh+h^2)-3x^2  + 2x+2h-2x

             h-0                    h                     h

    f'(x)= lim  3x^2+6xh+3h^2-3x^2  +  2h

             h-0               h                       h

    f'(x)= lim  6xh+3h^2  +  2h

             h-0       h              h

    f'(x)= lim  h(6x)  +  h(2)

             h-0     h          h

    f'(x)= 6x+2

2. f(x)= x^7 

f'(x)= lim  (x+h)^7-x^7

         h-0          h

f'(x)= lim

        h -0 x^7+7x^6h+21x^5h^2+35x^4h^3+35x^3h^4+21x^2h^5+7xh^6+h^7 - x^7

                                                    h

-> Es importante tener en cuenta que ha medida que se va operando (usando el triangulo de pascal) las x van disminuyendo y la h aumentando

f'(x)= lim    h(7x^6+21x^5h+35x^4h^2+35x^3h^3+21x^2h^4+7xh^5+h^6)

         h-0                                            h

f'(x)= 7x^6 

3. f(x)=   8     + x^3   

            x^2

                           8              -    8  

 f'(x)=lim    x^2+2xh+h^2        x^2       +   x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 - x^3

         h-0                       h                                         h

Ahora multiplicamos numerador 1 con denominador 2 y denominador 2 con numerador 1 (esto irá en el numerador) luego denominador 1 con denominador 2 (esto va en el denominador) .... Sin olvidar todo esto va sobre h.

              8x^2 - 8x^2+16xh+8h^2

f'(x)= lim     x^4+2x^3h+x^2h^2      +    3x^2h+3xh^2+h^3

         h-0                  h                                       h

Ahora bien, para operar la primera función utilizamos la conocida "ley de oreja" (los términos externos se multiplican entre si quedando en el numerador, los internos se multiplican entre si quedando en el numerador); como la h no tienen el denominador señalado, esto significa que este es 1.

f'(x)= lim           1(16xh+8h^2)          +  3x^2h+3xh^2+h^3

         h-0  h(x^4+2x^3h+x^2h^2)                      h

f'(x)= lim           h(16x+8h)               +   h(3x^2+3xh+h^2)

         h-0  h(x^4+2x^3h+x^2h^2)                      h

f'(x)= 16x    +  3x^2

         x^4

f'(x)=  16    +  3x^2

         x^3

4. f(x)= x^3 - 3x^2 + 4

                  x^2

Para poder simplificar el valor de las x, podemos separar el fraccionario de la siguiente manera

f(x)= x^3 - 3x^2 +4   entonces  f(x)= x - 3 + 4 

        x^2    x^2

Después de realizar este paso podemos darnos cuenta que la función que ahora tenemos es:

f(x) = x+1

f'(x)= lim  (x+h)+1 - (x+1)

         h-0        h

f'(x)= lim  x+h+1-x-1

         h-0      h

f'(x) = lim   h

         h-0   h

f'(x)=1

5.  f(x)= x-3x^-2

                         

f'(x)= lim  (x+h)- 3(x+h)^-2 - (x-3x^-2)    

        h-0                   h

cuando se tiene un exponente negativo como el x^-2 se cambia de numerador a denominador, cambiando su signo, debido a que un exponente no puede ser negativo y nos queda 

  1   

x^2 

              

               x+h -     3      - x -  3  

f'(x)= lim          (x+h)^2        x^2

        h-0                  h

                    hx^2(x^2+2xh+h^2) -3x^2 - 3(x^2+2xh+h^2)

f'(x)= lim                        x^2(x^2+2xh+h^2)                           

         h-0                                h

f'(x)= lim    hx^4 + 2x^3h^2 + x^2h^4+ 3x^2 - 3x^2-6xh-3h^2

         h-0                       h(x^4+2x^3h+x^2h^2)

f'(x)=lim    h ( x^4 + 2x3h+ x^2h^3 - 6x - 3h)   

        h-0              h(x^4+2x^3h+x^2h^2)

f'(x)= x^4- 6x

            x^4

f'(x)=  1 - 6x^-3